Quant คือผู้ที่ใช้คณิตศาตร์เพื่อไขปัญหาในโลกการเงิน ในโลกแห่งความเป็นจริงใช้เครื่องมือจากหลายแขนงของคณิตศาสตร์ และการสร้างแบบจำลองทางการเงินสามารถดำเนินการได้หลากหลายวิธีอย่างน่าทึ่ง โดยเฉพาะการสร้างแบบจำลองทางการเงินที่สามารถพัฒนาได้หลากหลายวิธี ยกตัวอย่างเช่น การเปรียบเทียบระหว่างมาร์ติงเกลกับสมการเชิงอนุพันธ์—แต่ละแบบมีข้อดีและข้อเสียอย่างไร?
เราจะพาทุกท่านมาสำรวจคณิตศาสตร์ในการเงินเชิงปริมาณ เมื่อเราดำเนินการต่อ ความแตกต่างระหว่าง “วิธีการสร้างแบบจำลอง” และ “Tool” จะเริ่มชัดเจนมากขึ้น
Modelling :
ทฤษฏีความน่าจะเป็น
Deterministic
Discrete: difference equations
Continuous: differential equations
Useful tools:
Simulations
Discretization methods
Approximations
Asymptotic analysis
Series solutions
Green’s functions
ถึงตรงนี้ถ้าคุณไม่รู้ว่าแต่ละอันข้างบนมันคืออะไร ไม่ต้องตกใจมันเรื่องปกติ เราจะมาเล่าสั้นๆเพื่อให้คุณเข้าใจมันก่อนแต่แน่นอน คุณสามารถหาบทความจากเว็ปนี้ได้ เพื่อดำดิ่งในหัวข้อต่างๆ
ทฤษฏีความน่าจะเป็น
หนึ่งในสมมติฐานหลักเกี่ยวกับตลาดการเงิน อย่างน้อยในแง่ของการเงินเชิงปริมาณ คือราคาสินทรัพย์มีการเคลื่อนที่แบบสุ่ม(แม้มันจะไม่ถูกใจ สายเทคนิคคอลหรือ VI ก็ตามแต่มันยังคงเป็นความจริงจนกว่าคนพวกนั้นจะหาข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลทางวิทยาศาสตร์ได้) เรามักจะคิดว่าการอธิบายตัวแปรทางการเงินนั้นเป็นไปแบบสุ่ม โดยมีพารามิเตอร์ที่อธิบายการเติบโตของสินทรัพย์และระดับความสุ่มของมัน เราใช้แบบจำลองมากมายที่อยู่บนสมมุติฐานนี้ตั้งแต่ ทฤษฏีพอร์ตการลงทุน การจัดการความเสี่ยง จนไปถึงการกำหนดราคาอนุพันธ์
Deterministic
แนวคิดของวิธีนี้คือการสร้างแบบจำลองที่สามารถบอกเราได้ทุกอย่างเกี่ยวกับอนาคต โดยเชื่อว่าหากมีข้อมูลเพียงพอและความสามารถในการประมวลผลสูง เราสามารถสร้างสมการหรืออัลกอริทึมสำหรับการทำนายอนาคตได้ อย่างไรก็ตาม หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับระบบพลวัต (dynamical systems) และความโกลาหล (chaos) ซึ่งจัดอยู่ในหมวดนี้ ได้แสดงให้เห็นว่าระบบที่มีความโกลาหลมักไวต่อสภาวะเริ่มต้นมากจนการทำนายผลลัพธ์ในทางปฏิบัติแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย ปรากฏการณ์นี้เป็นที่รู้จักในชื่อ "ผลกระทบจากปีกผีเสื้อ" (butterfly effect) ที่กล่าวว่าการกระพือปีกของผีเสื้อในบราซิลอาจ "ก่อให้เกิด" ฝนตกในเมืองแมนเชสเตอร์
แม้ว่าหัวข้อนี้จะได้รับความสนใจอย่างมากในช่วงต้นทศวรรษ 1990 แต่กลับไม่สามารถสร้างผลลัพธ์ที่น่าประทับใจในโลกการเงินได้ตามที่คาดหวังจนมีคำพูดที่ว่า "มีแต่คนบ้าเท่านั้นที่เชื่อว่าทำนายตลาดได้" เช่นเดี่ยวกับแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ที่สุดท้ายเมื่อเราเจอสาตร์ Quantum ทุกอย่างก็ไม่สามารถทำนายได้อีกต่อไป
Discrete/Continuous
แบบไม่ต่อเนื่อง/แบบต่อเนื่อง (Discrete/Continuous)ไม่ว่าจะเป็นแบบมีความน่าจะเป็น (probabilistic) หรือแบบกำหนดแน่นอน (deterministic) แบบจำลองสุดท้ายที่คุณสร้างขึ้นสามารถอยู่ในรูปแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบต่อเนื่องก็ได้
แบบไม่ต่อเนื่อง (Discrete): หมายถึงราคาสินทรัพย์และ/หรือเวลาเพิ่มขึ้นทีละช่วงที่มีขอบเขต เช่น หนึ่งดอลลาร์ หนึ่งเซ็นต์ หนึ่งปี หรือหนึ่งวัน
แบบต่อเนื่อง (Continuous): หมายถึงไม่มีช่วงที่เล็กที่สุดกำหนดไว้ การเพิ่มขึ้นสามารถเกิดขึ้นได้ในทุกช่วงเวลา
ในทางคณิตศาสตร์ การจัดการกับกระบวนการแบบต่อเนื่องมักง่ายกว่ากระบวนการแบบไม่ต่อเนื่อง แต่เมื่อถึงขั้นการประมวลผลตัวเลข (number crunching) คุณต้องแปลงแบบจำลองต่อเนื่องให้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องอยู่ดี
Simulations
การจำลองสถานการณ์ (Simulations) หากโลกการเงินมีความเป็นสุ่ม เราสามารถทดลองคาดการณ์อนาคตได้ด้วยการรันการจำลองสถานการณ์ ตัวอย่างเช่น ราคาสินทรัพย์อาจแสดงผ่านค่าเฉลี่ยการเติบโตและความเสี่ยงของมัน เราจึงสามารถจำลองสิ่งที่อาจเกิดขึ้นในอนาคตกับสินทรัพย์สุ่มนี้ได้
การใช้วิธีนี้ เราจำเป็นต้องรันการจำลองหลายครั้ง การรันเพียงครั้งเดียวไม่มีประโยชน์มากนัก เนื่องจากเราต้องการเห็นภาพรวมของสถานการณ์ในอนาคตที่หลากหลาย
นอกจากนี้ การจำลองยังสามารถนำมาใช้กับปัญหาที่ไม่เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นได้ แม้จะอยู่ในกรอบของแบบจำลองที่กำหนดแน่นอน (deterministic) แต่เนื่องจากความคล้ายคลึงกันของสมการทางคณิตศาสตร์ แบบจำลองเชิงกำหนดแน่นอนบางอย่างอาจสามารถตีความได้ในลักษณะเชิงความน่าจะเป็น
Discretization Methods
Discretization Methods เป็นวิธีการที่ใช้เพื่อจำลองสถานการณ์ และมีหลายรูปแบบ หนึ่งในวิธีที่รู้จักกันดีที่สุดคือ วิธีความแตกต่างจำกัด (finite-difference methods) ซึ่งเป็นกระบวนการทำให้แบบจำลองต่อเนื่อง เช่น โมเดล Black–Scholes กลายเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง
ขึ้นอยู่กับปัญหาที่คุณกำลังแก้ไข หากปัญหาไม่ใช่เรื่องง่ายมาก คุณจะต้องเลือกใช้วิธีการจำลองสถานการณ์หรือวิธีความแตกต่างจำกัดในการประมวลผลตัวเลขของคุณ
Approximations
ในการสร้างแบบจำลอง เรามุ่งเน้นการหาวิธีแก้ปัญหาที่สามารถแสดงผลลัพธ์ที่มีความหมายและเป็นประโยชน์ เช่น การกำหนดราคาของออปชัน หากแบบจำลองนั้นไม่เรียบง่าย อาจเป็นไปได้ว่าเราไม่สามารถแก้ปัญหาได้อย่างตรงไปตรงมา
ในกรณีนี้ การประมาณค่า จะเข้ามามีบทบาท แบบจำลองที่ซับซ้อนอาจมีคำตอบในลักษณะใกล้เคียงหรือประมาณ และคำตอบที่ได้จากการประมาณนี้อาจเพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ที่เราต้องการ
Asymptotic Analysis
Asymptotic Analysisเป็นเทคนิคที่มีประโยชน์อย่างมากและถูกนำมาใช้ในเกือบทุกสาขาของคณิตศาสตร์ประยุกต์ อย่างไรก็ตาม เทคนิคนี้เพิ่งได้รับความสนใจในโลกการเงินเมื่อไม่นานมานี้ แนวคิดของมันเรียบง่าย: เราสามารถหาวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนได้โดยการใช้พารามิเตอร์หรือตัวแปรที่มีค่าใหญ่มากหรือเล็กมาก หรือมีลักษณะพิเศษในบางแง่มุม ตัวอย่างเช่น การคำนวณค่าออปชันแบบวานิลลาที่ใกล้ถึงวันหมดอายุอาจมีการประมาณที่ง่ายขึ้นโดยใช้วิธีนี้
Series Solutions
หากสมการของคุณเป็นแบบเชิงเส้น (ซึ่งสมการส่วนใหญ่ในการเงินเชิงปริมาณมักเป็นเช่นนี้) คุณอาจสามารถแก้ปัญหาเฉพาะได้โดยการรวมผลลัพธ์ของปัญหาอื่นๆ เข้าด้วยกัน
Series Solutions หมายถึงการแยกคำตอบของสมการออกเป็นผลรวมของฟังก์ชันง่ายๆ ซึ่งอาจมีจำนวนอนันต์ ตัวอย่างของฟังก์ชันเหล่านี้ ได้แก่ ไซน์ คอสไซน์ หรืออนุกรมกำลัง (power series)
ตัวอย่างหนึ่งของการใช้วิธีนี้คือ Barrier Options ที่มี Barrier สองจุด: จุดหนึ่งต่ำกว่าราคาสินทรัพย์ปัจจุบัน และอีกจุดสูงกว่า การแก้ปัญหาสำหรับออปชันประเภทนี้สามารถดำเนินการได้โดยใช้การแก้ปัญหาแบบอนุกรม
Green’s Functions
ฟังก์ชันของกรีนเป็นเทคนิคเฉพาะที่สามารถใช้ได้ในบางสถานการณ์เท่านั้น แนวคิดคือการสร้างวิธีแก้ปัญหาสำหรับปัญหาที่ยาก โดยอาศัยการรวมคำตอบจากกรณีเฉพาะของปัญหาที่คล้ายกัน
ในทางปฏิบัติ วิธีนี้เกี่ยวข้องกับการระบุฟังก์ชันที่ทำหน้าที่เป็น "ตัวกลาง" สำหรับการแก้ปัญหา โดยฟังก์ชันนี้จะตอบสนองต่อปัญหาง่ายๆ และเมื่อรวมเข้าด้วยกัน จะช่วยสร้างคำตอบสำหรับปัญหาที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เทคนิคนี้มักถูกนำไปใช้ในสมการเชิงอนุพันธ์และฟิสิกส์ทางคณิตศาสตร์ และยังสามารถปรับใช้ในบางกรณีของ QUANT ได้
Comments